Исследовательский проект «Формула Кардано: история и применение»

Реферат

Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Найти различные методы и приёмы решенийуравнений третьей степени.

Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза. Можно предположить, что формулы громоздки, неудобны для запоминания, а вычисления по ним занимают много времени. Также можно предположить, что можно предложить иные универсальные пути для решения кубических уравнений.

  1. Формула Кардано: история и применение

    1. Несколько слов из истории формулы кубических уравнений

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайама (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1593).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 года), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторил Н. Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия были в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи. Исследовательский проект

3 стр., 1132 слов

Сочинение исчезающие виды животных

... не сумела найти добычу, она сворачивается в клубочек (так теплее) и на несколько часов засыпает. Известно, что чем меньше теплокровное животное, тем чаще оно ... был открыт новый вид грызунов — этрусская мышь массой всего около 2 граммов. Зоолог из ФРГ Адельгайде Гортс обнаружила на острове Сардиния несколько экземпляров ... когда-то по лесам и тундрам нашей страны. Сочинение! . Потом не будешь искать!

Исследовательский проект

ДжероламоКардано

24 сентября 1501, Павия — 21 сентября 1576, Рим) — итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

Никколо Фонтана Тарталья (итал. NiccolòFontanaTartaglia, 1499—1557) — итальянский математик.

Вообще история рассказывает, что формула изначально была открыта именноТартальей и передана Кардано уже в готовом виде, однако сам Кардано отрицал этот факт, хотя и не отрицал причастность Тартальи к созданию формулы.

За формулой прочно укоренилось название «формула Кардано», в честь ученого, который фактически объяснил и представил её публике.

    1. Математические диспуты в средние века.

Диспуты в средние века всегда представляли собой интересное зрелище, привлекавшие праздных горожан от мала до велика. Темы диспутов носили разнообразный характер, но обязательно научный. При этом под наукой понимали то, что входило в перечень так называемых семи свободных искусств было, конечно, и богословие. Богословские диспуты были наиболее частыми. Спорили обо всем. Например, о том, приобщать ли мышь к духу святому, если съест причастие, могла ли Кумская сивилла предсказать рождение Иисуса Христа, почему братья и сестры спасителя не причислены к лику святых и т. д.

О споре, который должен был произойти между прославленным математиком и не менее прославленным врачом, высказывались лишь самые общие догадки, так как толком никто ничего не знал. Говорили, что один из них обманул другого (кто именно и кого именно, неизвестно).

Почти все те, кто собрались на площади имели о математике самые смутные представления, но каждый с нетерпением ожидал начала диспута. Это всегда было интересно, можно было посмеяться над неудачником, независимо от того, прав он или нет.

Когда часы на ратуше пробили пять, врата широко распахнулись, и толпа бросилась внутрь собора. По обе стороны от осевой линии, соединяющей вход с алтарем, у двух боковых колонн были воздвигнуты две высокие кафедры, предназначенные для спорщиков. Присутствующие громко шумели, не обращая никакого внимания на то, что находились в церкви. Наконец, перед железной решеткой, отделявшей иконостас от остальной части центрального нефа, появился городской глашатай в черно-фиолетовом плаще и провозгласил: «Достославные граждане города Милана! Сейчас перед вами выступит знаменитый математик Никколо Тарталья из Брении. Его противником должен был быть математик и врач ДжеронимоКардано. Никколо Тарталья обвиняет Кардано в том, что последний в своей книге «Arsmagna» опубликовал способ решения уравнения 3-й степени, принадлежащий ему, Тарталье. Однако сам Кардано на диспут прийти не смог и поэтому прислал своего ученика Луидже Феррари. Итак, диспут объявляется открытым, участники его приглашаются на кафедры». На левую от входа кафедру поднялся неловкий человек с горбатым носом и курчавой бородой, а на противоположную кафедру взошел молодой человек двадцати с небольшим лет, с красивым самоуверенным лицом. Во всей его манере держаться сказывалась полная уверенность в том, что каждый его жест и каждое его слово будут приняты с восторгом.

4 стр., 1640 слов

Способы решения трагедии общедоступной собственности на примере ...

... подписание которого обычно инициирует центральный орган власти. Выбор способа решения трагедии общедоступной собственности зависит от особенностей менталитета данной страны, от того, насколько ... ложатся на них всех равномерно. Трагедия общедоступной собственности на примере прибрежного рыболовства В статье «Решение трагедии прав собственности договорным путем», рассматриваются взаимоотношения между ...

Начал Тарталья.

— Уважаемые господа! Вам известно, что 13 лет назад мне удалось найти способ решения уравнения 3-й степени и тогда я, пользуясь этим способом, одержал победу в диспуте с Фиори. Мой способ привлек внимание вашего согражданина Кардано, и он приложил всё своё хитроумное искусство, чтобы выведать у меня секрет. Он не остановился ни перед обманом, ни перед прямым подлогом. Вы знаете также, что 3 года назад в Нюрнберге вышла книга Кардано о правилах алгебры, где мой способ, так бессовестно выкраденный, был сделан достоянием каждого. Я вызвал Кардано и его ученика на состязание. Я предложил решить 31 задачу, столько же было предложено и мне моими противниками. Был определен срок для решения задач – 15 дней. Мне удалось за 7 дней решить большую часть тех задач, которые были составлены Кардано и Феррари. Я напечатал их и послал с курьером в Милан. Однако мне пришлось ждать целых пять месяцев, пока я получил ответы к своим задачам. Они были решены не правильно. Это и дало мне основание вызвать обоих на публичный диспут.

Тарталья замолчал. Молодой человек, посмотрев на несчастного Тарталью, произнес:

— Уважаемые господа! Мой достойный противник позволил себе в первых же словах своего выступления высказать столько клеветы в мой адрес и в адрес моего учителя, его аргументация была столь голословной, что мне едва ли доставит какой-либо труд опровергнуть первое и показать вам несостоятельность второго. Прежде всего, о каком обмане может идти речь, если Никколо Тарталья совершенно добровольно поделился своим способом с нами обоими? И вот как пишет ДжеронимоКардано о роли моего противника в открытии алгебраического правила. Он говорит, что не ему, Кардано, «а моему другу Тарталье принадлежит честь открытия такого прекрасного и удивительного, превосходящего человеческое остроумие и все таланты человеческого духа. Это открытие есть поистине небесный дар, такое прекрасное доказательство силы ума, его постигнувшего, что уже ничто не может считаться для него недостижимым».

Мой противник обвинил меня и моего учителя в том, что мы будто бы дали неверное решение его задач. Но как может быть неверным корень уравнения, если подставляя его в уравнение и выполняя все предписанные в этом уравнении действия, мы приходим к тождеству? И уже если сеньор Тарталья хочет быть последовательным, то он должен был ответить на замечание, почему мы, укравшие, по его словами, его изобретение и использовавшие его для решения предложенных задач, получили неверное решение. Мы — мой учитель и я — не считаем, однако изобретение синьора Тартальи маловажным. Это изобретение замечательно. Более того, я, опираясь в значительной мере на него, нашел способ решения уравнения 4-й степени, и в «Arsmagna» мой учитель говорит об этом. Что же хочет от нас сеньор Тарталья? Чего он добивается диспутом?

4 стр., 1812 слов

Кислотный дождь: значение, факты, причины, следствия и решения

... авариям. Кислотные дожди не оказывают прямого воздействия на людей, поскольку вода слишком разбавлена, чтобы вызвать осложнения для здоровья. Однако сухие отложения этих газов могут вызвать серьезные проблемы со ... и астма. Кислотные дожди и разрушение озонового слоя Озон-это бесцветный газ, находящийся в верхних слоях атмосферы или стратосферы. Озоновый слой-это то, что защищает нас от вредного ...

— Господа, господа, — закричал Тарталья, — я прошу вас выслушать меня! Я не отрицаю того, что мой молодой противник очень силен в логике и красноречии. Но этим нельзя заменить истинное математическое доказательство. Задачи, которые я дал Кардано и Феррари, решены неправильно, но и я докажу это. Действительно, возьмем, например, уравнение из числа решавшихся. Оно, как известно…

В церкви поднялся невообразимый шум, поглотивший полностью окончание фразы, начатой незадачливым математиком. Ему не дали продолжать. Толпа, требовала от него, чтобы он замолчал, и чтобы очередь была предоставлена Феррари. Тарталья, видя, что продолжение спора совершенно бесполезно, поспешно опустился с кафедры и вышел через северный притвор на площадь. Толпа бурно приветствовала «победителя» диспута Луиджи Феррари.

Так закончился этот спор, который и сейчас продолжает вызывать все новые и новые споры. Кому в действительности принадлежит способ решения уравнения 3-й степени? Мы говорим сейчас — Никколо Тарталье. Он открыл, а Кардано выманил у него это открытие. И если сейчас мы называем формулу, представляющую корни уравнения 3-й степени через его коэффициенты, формулой Кардано, то это — историческая несправедливость. Однако, несправедливость ли? Как подсчитать меру участия в открытии каждого из математиков? Может быть, со временем кто-то и сможет ответить на этот вопрос совершенно точно, а может быть это останется тайной…

    1. Формула Кардано

Если воспользоваться современным математическим языком и современной символикой, то вывод формулы Кардано может быть найден с помощью следующих в высшей степени элементарных соображений:

Пусть нам дано общее уравнение 3-й степени:

x 3 + ax 2 + bx + c = 0,

(1)

где a, b, c произвольные вещественные числа.

14 стр., 6523 слов

Итоговая контрольная работа по литературе за курс 7 класса (Коровина) с ответами

... с Кусакой. Рассказ учит милосердию и тому, что нельзя, наигравшись, бросать животное. Также читают: Картинка к сочинению По рассказу Кусака Популярные ... и кровопролитный поход. Проблема добра и зла в рассказе Л. Н. Андреева «Кусака» , Тема урока: Проблема добра и зла в рассказе Л. Н. Андреева «Кусака» Цель: формировать духовно-нравственную личность на основе изучения рассказа Л.Андреева «Кусака», ...

Заменим в уравнении (1) переменную х на новую переменную y по формуле:

Никколо фонтана тарталья итал  1

x

то уравнение (1) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение примет вид

Никколо фонтана тарталья итал  2

Это и есть знаменитая формула Кардано.

Корни кубического уравнения

D

Если

Если

Если

2.4. Примеры универсальных способов решения кубических уравнений

Попробуем применить формулу Кардана к решению конкретных уравнений.

Пример 1: x 3 +15 x +124 = 0

Здесь

Никколо фонтана тарталья итал  3

Никколо фонтана тарталья итал  4

Никколо фонтана тарталья итал  5

Никколо фонтана тарталья итал  6

Никколо фонтана тарталья итал  7

Никколо фонтана тарталья итал  8

Никколо фонтана тарталья итал  9

Ответ:

Пример 2: x 3 +6 x – 2 = 0

Здесь

Никколо фонтана тарталья итал  10

Никколо фонтана тарталья итал  11

Никколо фонтана тарталья итал  12

Ни подбор, ни разложение на множители не помогли бы решить это уравнение. В принципе в данном выражении формула сработала.

3 стр., 1273 слов

Класс. На примере сложноподчиненного предложения можно проследить, ...

... известным филологом. Легко доказать истинность утверждения Н.М. Шанского, обратившись к тексту В. Солоухина. В предложении 3 при­даточная часть раскрывает смысл ... от­мщения и прощении никогда не была бы написана. Однако мальчик увидел своего обидчика, и придаточное ... Шанского, несомненно, верно. Вариант 3 Филолог Н.М. Шанский был уверен: «На примере слож­ноподчиненного предложения можно проследить, ...

Налицо первый её недостаток – множество корней, большая часть которых на практике просто не извлекается, оставляя ответ громоздким.

Ответ:

Пример 3: Никколо фонтана тарталья итал  13

1.Способ разложения на множители.

Никколо фонтана тарталья итал  14

Никколо фонтана тарталья итал  15 Никколо фонтана тарталья итал  16

Никколо фонтана тарталья итал  17 Никколо фонтана тарталья итал  18Никколо фонтана тарталья итал  19или Никколо фонтана тарталья итал  20Никколо фонтана тарталья итал  21

Ответ: х=1

2. Графический способ.

Никколо фонтана тарталья итал  22 Никколо фонтана тарталья итал  23

Построим в одной системе координат графики функций у = х

Функция у=х

Никколо фонтана тарталья итал  24

РИС. 1

Ответ: х=1

3.Решение уравнения по Формуле Кардано.

Никколо фонтана тарталья итал  25

Никколо фонтана тарталья итал  26

Здесь

Никколо фонтана тарталья итал  27

Формула не дает точного ответа х=1 хотя, решая уравнение другими способами, мы его получаем.

  1. Заключение

В процессе исследования я изучила справочнуюи научно-популярную литературу и выяснила, что

Никколо фонтана тарталья итал  28

Рассмотрев примеры, можно сделать вывод, что универсального единого способа решения кубических уравнений не существует. Каждое уравнение требует индивидуального подхода к решению. Какое-то уравнение проще разложить на множители, применив при этом сначала подбор корней, а потом деление многочлена на многочлен столбиком, какое- то уравнение можно решить лишь графически, при этом корни иногда можно увидеть лишь приблизительно. Поэтому, встретившись в следующий раз на уроке с кубическим уравнением, формулу Кардано попробуем применить лишь в самом крайнем случае, когда все остальные способы не дадут точного ответа.

9 стр., 4168 слов

Классификация управленческих решений

... работе мы рассмотрим такие вопросы, как творческий характер управленческого решения и классификация управленческих решений в целом. Проблема принятия решений носит фундаментальный характер, что определяется ролью, которую играют решения в любой сфере человеческой деятельности. ...

К концу XIX века часть дискуссий стала носить характер серьезных историко-математических исследований. Математики поняли, какую большую роль в конце XVI века сыграли работы Кардано. Стало ясно то, что ещё раньше отмечал Лейбниц: «Кардано был великим человеком при всех его недостатках; без них он был бы совершенством».

4. Библиографический список

[Электронный ресурс]//URL: https://liarte.ru/referat/velikoe-iskusstvo-i-jizn-djerolamo-kardano/

1. Журналы «Квант» (1974, №1; 1976,№9)

2. История математики: Рыбников К. А.-М.: Издательство МГУ, 1960.

3. Словарь высшей школы: Воднев В. Т., Наумович А. Ф.-М.: Издательство МПИ, 1988

4.Электронный ресурс «Решение кубических уравнений»:

5.Электронная энциклопедия «Википедия»: