Тригонометрия в музыке

Реферат

Я заинтересовался этой темой, потому что хотел узнать больше о тригонометрии и особенно о ее истории.

Я поставил перед собой цель: определить на основе отобранного материала, где тригонометрия, за исключением школьного курса, встречается в решении проблем и идентичностей.

Прочитав литературу, я узнал, что тригонометрические вычисления используются практически во всех областях геометрии, физики и технологии. Большое значение имеет метод триангуляции, который может быть использован для измерения расстояний до далеких звезд в астрономии, между географическими достопримечательностями для управления спутниковыми навигационными системами.

Также стоит отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансового рынка, электроника, теория вероятности, статистика, биология, медицина (в том числе ультразвук и компьютерная томография), фармация, химия, теория чисел (и), как следствие криптографии), сейсмологии, метеорологии, океанографии, картографии, многих областях физики, топографии и геодезии, архитектуры, фонетики, экономики, электротехники, машиностроения, компьютерной графики, кристаллографии, а также я узнал много нового, чего раньше не знал.

По истории тригонометрии

Тригонометрия — греческое слово и буквально означает измерение треугольников (Триггунон — треугольник и измерение Метрю).

В этом случае под измерением треугольников следует понимать треугольное решение, т.е. определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое количество практических задач, но также и задачи планаметрии, стереометрии, астрономии и другие даны задачам решения треугольников.

Появление тригонометрии связано с астрономией и строительством.

Хотя название науки появилось сравнительно недавно, многие понятия и факты, связанные с тригонометрией, были известны уже две тысячи лет назад.

Решения для треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были впервые найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (II в. до н.э.) и Клавдием Птолемеем (II в. н.э.).

11 стр., 5287 слов

Теория драм1

В драме доминирует драматизм – свойство человеческого духа, пробуждаемое ситуациями, когда заветное или насущное для человека остается неосуществленными или под угрозой. Драма, как правило, построена на едином внешнем (или внутреннем) действии с его перипетиями, связанным с прямым или внутренним противоборством героев. Универсальной основой композиции драмыявляется ее членение на сценические ...

Позже отношения между сторонами треугольника и его углами стали называться тригонометрическими функциями.

Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые ал-Батани (850-929 гг.) и абу-л-Вафа Мухаммад бин Мухаммад (940-998 гг.), создавшие таблицы с синусоидальными кривыми и касательными после 10′ с точностью до 1/604 гг. Индийский ученый Бхаскара (род. 1114 г., год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насираддин Туси Мухаммад (1201-1274 гг.) уже знали теорему синуса. Кроме того, Насираддин Туси представил плоскую и сферическую тригонометрию как отдельную дисциплину в своем труде «Трактат о полном квадричастии».

В долгой истории существует понятие синуса. Фактически, различные соотношения сечений треугольника и круга (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в. до н.э. в трудах великих математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлонии Пергусской. В римский период эти отношения систематически изучались Менелаем (I в. н.э.), хотя конкретное название им не давалось. Современный синус a, например, изучался как полуаккорд, на котором центральный угол лежит в размере a, или как двухдуговой аккорд.

Уже в IV-V веке в астрономических трудах великого индийского ученого Ариабхаты, чье имя было дано первому индийскому спутнику Земли, существовал особый термин. Он назвал отрезок АМ (рис. 1) аргаджива (арга — половина, джива — луковая струна, которая напоминает аккорд).

Позже появилось более короткое имя Джива. Арабские математики в IX в. заменили это слово на арабское слово jib (выпуклость).

В переводе арабских математических текстов в этом столетии он был заменен на латинский синус (синус — кривизна, изгиб).

Слово «косинус» намного моложе. Косинус — это аббревиатура латинского термина для полного синуса. «лишний синус» (или иначе «лишняя дуга»).

Касательные появились в связи с решением задачи определения длины тени. Тангент (как и кокангент) был введен в X. столетие арабский математик Абу-л-Вафа, который создал первые таблицы для нахождения тангенса и кокангента. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенты были заново открыты только в XIV веке немецким математиком и астрономом Реджимонтаном (1467 г.).

Он доказал теорему о тангенте. Regimontan также сделал подробные тригонометрические таблицы, благодаря его работам плоские и сферические тригонометрии стали отдельной дисциплиной в Европе.

Название «касательные», происходящее от латинского tangens (to touch), появилось в 1583 году, тангенс переводится как «касание» (линия касания — касательная к одному кругу).

Дальнейшее развитие тригонометрии состоялось в трудах выдающегося астронома Николая Коперника (1473-1543) — создателя мировой гелиоцентрической системы Тихо Браге (1546-1601) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в трудах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу определения всех элементов плоского или сферического треугольника на три даты.

2 стр., 678 слов

На всероссийский конкурс «Человек красив в труде»

... Брюсов, русский поэт, писал о важности трудовой деятельности в своем стихотворении «Труд»: В мире слов разнообразных, Что блестят, горят ... мире постоянно и непрерывно трудится. Непрерывный труд сопровождает человека всю его жизнь. Трудиться и ребенок, постигая удивительный ... от ежедневного труда, счастлив, что приносит пользу другим людям, что раскрывается духовно, вкладывает все силы в развитие ...

Долгое время тригонометрия была чисто геометрической. Факты, которые мы сейчас формулируем в виде тригонометрических функций, были сформулированы и доказаны с помощью геометрических концепций и высказываний. Так было уже в средние века, хотя иногда использовались аналитические методы, особенно после появления логарифмов. Пожалуй, наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением астрономических задач, представлявших большой практический интерес (например, для решения задач определения положения корабля, прогнозирования отключения электроэнергии и т.д.).

Астрономов интересовали отношения между сторонами и углами сферических треугольников. И надо сказать, что математики древнего мира успешно справились с поставленными задачами.

С XVII века тригонометрические функции стали использоваться для решения уравнений, задач механики, оптики, электротехники, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, изучения переменного тока и др. Поэтому тригонометрические функции были всесторонне и глубоко исследованы и приобрели значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций была разработана в основном Леонардом Эйлером (1707-1783), выдающимся математиком XVIII века, членом Санкт-Петербургской Академии наук. Большое научное наследие Эйлера включает в себя блестящие результаты, связанные с математическим анализом, геометрией, теорией чисел, механикой и другими математическими приложениями. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, начал рассматривать функции любого угла, и получил формулы редукции. По словам Эйлера, тригонометрия получила форму расчета: различные факты стали доказываться формальным применением формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее.

Таким образом, тригонометрия, зародившаяся как наука о разрешении треугольников, со временем переросла в науку о тригонометрических функциях.

Позже часть тригонометрии, изучающую свойства тригонометрических функций и связь между ними, стала называться гониометрией (в переводе — наука об измерении угла, с греческого gwnia — угол, metrew — мера).

В последнее время термин «гониометрия» практически не используется.

Тригонометрические функции

Элементарные функции, которые исторически возникали при взгляде на прямоугольные треугольники и выражают зависимость сторон этих треугольников от острых углов гипотенузы (или, эквивалентно, зависимость аккордов и высоты от центрального угла в круге).

Эти функции нашли самое широкое применение в различных областях науки. В результате было расширено определение тригонометрических функций, и их аргументом теперь может быть любое реальное или даже сложное число.

Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

Ссылка на тригонометрические функции:, Во-первых, прямые тригонометрические функции:

  • Синус (синус х);
  • Косинус (косинус х).

Во-вторых, противоположные тригонометрические функции:

  • второй (x);
  • cosec (x).

    5 стр., 2095 слов

    Квадратичная функция

    ... явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе. 1. Исследование квадратичной функции 1.1. Определение Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax ... теоретических рассуждений. Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами. Цель – исследовать квадратичную функцию и ...

В-третьих, производные тригонометрические функции:

  • Тангент (tg x);
  • Катангензис (ctg x).

В западной литературе загар х, кроватка х, цхх называются загаром, кроватка х, цхх.

В дополнение к этим шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (верна и т.д.) и обратные тригонометрические функции (арксин, аркозин и т.д.), которые рассматриваются в отдельных статьях.

Синусоидальный и косинусоидальный вещественные аргументы являются периодически непрерывными и бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями.

Остальные четыре функции на реальной оси также являются материально значимыми, периодическими и бесконечно различимыми в областях определения, но не непрерывными.

Тангенты и секанты имеют паузы второго поколения на ±rp, в то время как катангенсы и секанты имеют паузы на ±rp.

Геометрическое определение

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Укажем декартовую систему координат на плоскости и сформируем окружность радиусом R, центр которой находится в начале координат O. Измеряем углы как вращения от положительного направления оси абсциссы к акустическому пучку. Направление против часовой стрелки считается положительным, направление по часовой — отрицательным. Если мы обозначим абсциссой точку B с xB, то мы обозначим ординату с yB.

Понятно, что значения тригонометрических функций не зависят от радиуса окружности R из-за свойств подобных фигур.

Следует также отметить, что этот радиус часто принимается равным значению одного сечения.

Исходя из этого, синус является просто ординатой yB, а косинус — абсциссой xB.

Если b является вещественным числом, то в математическом анализе синус b называется угловым синусом, радиан которого равен b, аналогично другим тригонометрическим функциям.

Рассмотрим графическое изображение этого явления на рисунке 3.

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений, уравнений функций и по ряду

Во многих учебниках элементарной геометрии тригонометрические функции острого угла до сих пор определялись как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть ОАБ будет треугольником с углом b.

Ну, тогда:

  • Синус угла b называется отношением AB/OB (отношение противоположного катетера к гипотенузе);
  • Козин угла b называется отношением OA/OB (отношение смежного катетера к гипотенузе);
  • Касательная угла b называется отношением AB/OA (отношение противоположного катетера к соседнему катетеру);
  • Катангензис угла b называется отношением OA/AB (отношение смежного катетера к противоположному катетеру);
  • Секанс угла b называется отношением ОВ/ОА (отношение гипотенузы к соседнему катетеру);
  • Угол cosecansome b называется отношением OV/AB (отношение гипотенузы к контркатетеру).

    26 стр., 12523 слов

    Функции деталей в творчестве Куприна

    ... Куприна «Гранатовый браслет», «Олеся», «Суламифь». В Заключении обобщаются теоретические и практические результаты исследования, приводятся основные положения по материалу работы. ... мыслях, переживаниях, желаниях - такое свойство стиля называется психологизмом , а детали, представляющие внутренний ... классификации деталей, определяются их функции в литературном произведении. Теоретический материал ...

После того, как мы построили систему координат с началом в точке О, изменили направление оси абсциссы вдоль ОА и, при необходимости, ориентацию треугольника (перевернув его) так, чтобы он лежал в первой четверти системы координат, а затем построили окружность с радиусом, равным гипотенусе, сразу замечаем, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

На основании геометрии и свойств предельных значений можно доказать, что производная синуса равна косинусу, а производная косинуса равна минус синус. Затем можно использовать преимущества теории рядов Тейлора и представить синус и косинус как сумму степенных рядов.

Самые простые личности

Тригонометрические тождества

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки, соответствующей единичной окружности впадин, то в соответствии с уравнением единичной окружности или пифагорейской теоремой.

Это соотношение называется базовой тригонометрической идентичностью.

Мы делим это уравнение на квадрат косинуса и синуса.

Непрерывность.

Синус и косинус являются непрерывными функциями. У тангентов и секантов есть точки перелома: катангенез и косекансы.

Где f — произвольная тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (т.е. косинус для синуса, синус для косинуса и подобная для других функций), n — целое число. Полученной функции предшествует знак, который имеет начальную функцию в данной координатной четверти, при условии, что угол b острый.

Формулы для работы с касательными и катангами трех углов получены путем деления правой и левой частей соответствующих уравнений, представленных выше.

Вид одного параметра.

Все тригонометрические функции могут быть выражены полукруглым касательным.

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и бесконечно дифференцируются по всему диапазону определения:

Интегралы тригонометрических функций в домене выражаются элементарными функциями

Большинство из вышеперечисленных свойств тригонометрических функций были сохранены даже в сложном случае.

Некоторые дополнительные свойства: тригонометрическое уравнение идентичности:

  • Сложные синусоидальные и косинусоидальные значения, в отличие от реальных, могут принимать любое количество значений модуля;
  • Все нули сложного синуса и косинуса лежат на оси материала.

Заключение

8 стр., 3909 слов

Функции журналистской информации

... опиралась на протяжении всей курсовой работы, выступают: учебное пособие профессора МГУ Е.П. Прохорова «Введение в теорию журналистики», С.Г. Корконосенко «Основы журналистики», В.Л Цвика «Введение в журналистику». 1.1 Способы функционирования журналистики Функция (с ...

В данной работе были выполнены все задачи: получены более подробные сведения о тригонометрических функциях, приведены доказательства теорем косинуса и синуса, а также теоремы о площади треугольников, применены при решении задач по нахождению неизвестных элементов треугольника, научились применять эти теоремы при измерении работы на местности. Представленные проблемы представляют большой практический интерес, закрепляют полученные знания в области геометрии и могут быть использованы в практической работе.

Список литературы

[Электронный ресурс]//URL: https://liarte.ru/referat/trigonometriya-v-muzyike/

  1. Анатасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия 7-9 класс — 12-е изд. М.: Разведка, 2005 , с.157-159, 256-261
  2. Массовый М.Б., массовый Г.Д. «Математика после школы», М., Просвещение, 1971, с.56-57.
  3. 1964, Берманд А.Ф. Тригонометрия, с.4-6.
  4. Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра 9-ый класс — 13-е изд. -М.: Разведка, 2003, с.112-114.
  5. Понарин Дж.П. Элементарная геометрия. ИКНМО, 2004, СТР. 84-85.