Квадратичная функция

метки: Функция, Квадратичный, График, Рассуждение, Значение, Парабола, Задача, Снаряд

^{ВВЕДЕНИЕ}

Квадратичная функция является одной из первых, с которой мы познакомились в процессе изучения курса алгебры. С одной стороны эта функция простая, но с другой стороны, при её изучении, мы затронем очень интересную тему — баллистика. Эта тема позволит углубить наши знания о квадратичной функции и повысить интерес учащихся к данной теме.

Актуальность

Задачи с параметрами на квадратичную функцию и задачи, сводящиеся к квадратичным функциям, очень популярны на экзаменах, ЕГЭ, школьных олимпиадах разного уровня. Квадратичная функция является одной из главных функций школьной математики для которой построена полная теория и доказаны все свойства, а от учащегося требуется четкое понимание и знание всех этих свойств.

При этом задач на квадратичную функцию очень много – от простых, непосредственно вытекающих из формул и теории, до сложных, требующих всестороннего анализа и глубокого понимания свойств функции.

Условия на существование корней, число корней, их значений, поведение и свойства графиков функции можно сформулировать в терминах соотношений между коэффициентами и условий на коэффициенты. По знакам коэффициентов можно однозначно восстановить эскиз графика функции, знак выражения определяет существование и число корней, выражения присутствуют в теореме Виета. Важно понимать, как влияют коэффициенты квадратичной функции, их знаки, соотношения между ними на свойства функции и ее графика.

Большое практическое значение при решении задач на квадратичную функцию имеет наличие однозначного соответствия между алгебраическим описанием и геометрической интерпретацией задачи – графическим изображением и положением эскиза графика функции на координатной плоскости. С одной стороны, от учащихся требуется свободное владение свойствами квадратичной функции и умение построить соответствующую графическую интерпретацию, с другой — геометрическая интерпретация помогает проверить логическую правильность и непротиворечивость теоретических рассуждений. Задачи на расположение корней квадратичной функции и сводящиеся – она из самых популярных тем в задачах с параметрами.

Цель – исследовать квадратичную функцию и осуществить ее полный анализ

Задачи

Формирование обобщенных умений:

• применять практические навыки, полученные на уроках смежных дисциплин;
• решать задачи, требующие комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;
• развитие интереса к математике и физике, к изучению связей между знаниями из смежных предметов
• становление профессиональных интересов учащихся;
• формирование у учащихся целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

^{1. Исследование квадратичной функции}

Самостоятельная работа учащихся на уроке

... учащихся стереотипный, в основном вербальный способ обучения, становится малоэффективным. Роль самостоятельной работы школьников возрастает так же в связи с изменением цели обучения, его направленностью на формирование навыков, творческой ...

1.1. Определение

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax ² + bx + c, где х — независимая переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а 0.

1.2 График-парабола

Графиком квадратичной функции является парабола.

^{2. Виды квадратичной функции}

2.1 Функция

Область определения этой функции — множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x ² , изображаем график функции.

График функции y = ax ² называется параболой.

Свойства функции у =aх ² .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0;0) — начало координат.

2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = aх ² является промежуток [0; + ∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = aх ² — четная).

5. На промежутке [0; + ∞) функция у = aх ² возрастает.

6. На промежутке (-∞; 0] функция у = aх ² убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

2.2 Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax ² + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции:

• Область определения: R;
• Область значений:
• при а >
• 0 [-D/(4a);
• ∞)

при а < 0 (-∞;

• D/(4a)];
• Четность, нечетность:

при b= 0 функция четная

при b≠0 функция не является ни четной, ни нечетной

• Нули:

^{при D > 0 два нуля:} ,

^{при D = 0 один нуль:}

при D < 0 нулей нет

• Промежутки знакопостоянства:

^{если, а > 0, D > 0, то}

^{если, а > 0, D = 0, то}

^{eсли а > 0, D < 0, то}

^{если а < 0, D > 0, то}

^{если а < 0, D = 0, то}

^{если а < 0, D < 0, то}

• Промежутки монотонности

^{при а > 0}

^{при а < 0}

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная ^{относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы} называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

^;

^{3. Преобразование графиков функции}

3.1. Растяжение

Растяжение графика у = x ² вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 — это сжатие в 1/|а| раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах ² .

3.2 Параллельный перенос по оси Ох

Параллельный перенос графика функции у = ах ² вдоль оси х на |m| (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х — т) ² .

3.3 Параллельный перенос по оси Оу

Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х — т) ² + п.

^{4. Квадратное уравнение}

Уравнение ax ² + bx + c = 0, где a ≠ 0, называется квадратным уравнением.

^{Выделив полный квадрат, получим уравнение}

^{Если то отсюда следует, что}

^или

Мы получили формулу корней квадратного уравнения (формулу Виета).

При D > 0 существуют два корня x ₁ и x₂ . При D = 0 корни квадратного уравнения ^{совпадают: x ₁ = x ₂ . Наконец, при D < 0 равенство невозможно, и корней у} квадратного уравнения не существует.

Если D ≥ 0, то квадратичную функцию можно разложить на множители:

Таким образом y = a (x – x ₁ ) (x – x₂ ),

^где

^{Если D = 0, то Если D < 0, то квадратный трехчлен нельзя разложить на} множители.

^{5. Теорема Виета}

Для того чтобы числа x ₁ и x₂ были корнями уравнения ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

Доказательство

1. Необходимость. Пусть числа и являются корнями уравнения ( a ≠ 0). Тогда Имеем 2. Достаточность. Пусть имеется система Из первого равенства Подставляя это значение во второе равенство, получим откуда Значит, число x1 является корнем квадратного уравнения Аналогично доказывается, что – также корень этого уравнения.

^{6. Сечение конуса}

Парабола является одним из конических сечений

Точка является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и

Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и

^{7. Построение параболы по трем точкам}

Функция f (x) = ax ² + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

^{ЗАКЛЮЧЕНИЕ}

Добиваясь поставленной цели, мы решили следующие задачи: применять практические навыки при решении задач, требующих комплексного применения знаний, полученных в ходе изучения различных учебных предметов;

— Проработанный и изученный нами материал формирует становление профессиональных интересов у учащихся, формирование целостного, единого представления об окружающем мире, о взаимообусловленности явлений и процессов, а также общности законов, действующих в природе.

Эта тема позволила нам расширить наше представления о функции и ее свойствах. Нас заинтересовала эта тема и мы углубили свои знания о ней. С помощью изучения квадратичной функции мы узнали ,что существуют разнообразные способы построения графиков.

Мы встречаемся с ней не только при решении задач и построении графиков, но и в окружающем мире. Ярким примером этого служит баллистика.

^{СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ}

[Электронный ресурс]//URL: https://liarte.ru/referat/rassujdenie-kvadratichnaya-funktsiya-v-nashey-jizni/

1. ^{h ttp :// e — science . ru / math / theory /? t =144}

2. ^{http :// info . territory . ru / univer / qvadro _ func . htm}

3. ^{http :// www . ido . rudn . ru / nfpk / matemat /10 / main _1. htm}

4. ^{В. А . К а с ь я н о в « Ф и з и к а » 10 к л а с с , И з д а т е л ь с т в о Д Р О Ф А , М о с к в а 2004 г о д , с .61-68.}

ПРИЛОЖЕНИЕ

Применение

Траектория баллистического движения

Баллистика – наука о движении снарядов, мин, пуль, неуправляемых ракет при стрельбе (пуске).

Основные разделы баллистики: внутренняя баллистика и внешняя баллистика. Исследованием реальных процессов, происходящих при горении пороха, движении снарядов, ракет (или их моделей) и т. д., занимается эксперимент баллистики. Внешняя баллистика изучает движение снарядов, мин, пуль, неуправляемых ракет и др. после прекращения их силового взаимодействия со стволом оружия (пусковой установкой), а также факторы, влияющие на это движение.

Графиком квадратичной функции, как известно, является парабола. В рассматриваемом случае парабола проходит через начало координат, так из формулы:

следует, что ,y=0 при x=0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при меньше нуля (рис. 1).