Проценты: их значение и история
Проценты — одно из математических понятий, которое имеет огромное прикладное значение в нашей повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты являются неотъемлемыми навыками для каждого человека. Эта тема охватывает различные сферы нашей жизни, такие как финансы, демография, экология, экономика, социология и многие другие.
В настоящее время понятие «кредит» стало неотъемлемой частью жизни современного человека. Однако многие люди, берущие кредиты в банках, не всегда способны правильно рассчитать процентные выплаты. Поэтому каждый человек должен обладать навыками решения задач, связанных с процентами, чтобы уметь оценивать различные предложения магазинов, кредитных отделов и банков и выбирать наиболее выгодные условия.
Слово «процент» происходит от латинского выражения «pro centum», что означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого в одних и тех же долях возникла еще в древности у вавилонян. Вавилонские ростовщики использовали подсчеты не «со ста», а «с шестидесяти». Однако в Древнем Риме проценты стали широко распространены. Римляне называли процентами деньги, которые должник платил кредитору за каждую сотню. Это понятие было принято другими народами Европы.
Вначале проценты использовались исключительно для расчета прибыли или убытка на каждые сто рублей в торговых и денежных сделках. Однако со временем их область применения расширилась, и проценты стали использоваться в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Сегодня проценты представляют собой частный вид десятичных дробей, сотую долю целого, которое принимается за единицу.
Знак процента (%) происходит, вероятно, от итальянского слова «cento» (сто), которое часто использовалось в процентных расчетах сокращенно как «cto». Позже буква «t» была заменена на наклонную черту («/»), которая и стала современным символом обозначения процента. Существует также любопытная версия происхождения знака процента, связанная с ошибкой наборщика. В 1685 году в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где наборщик по ошибке напечатал знак процента вместо «cto».
1. Понятие процента
1.1 Основные типы задач на проценты
Процент — это сотая часть величины, которая широко используется в тактической деятельности. Люди давно заметили удобство использования сотых долей в различных областях жизни и назвали их процентами. Например, сотая часть метра — это сантиметр, а сотая часть рубля — копейка. Таким образом, одна копейка составляет один процент от одного рубля, а один сантиметр — один процент от одного метра.
Научно-исследовательская работа Дроби в жизни человека
... сути они повторяют их. 2.3 Дроби в повседневной жизни В настоящее время в науке и во всех отраслях народного хозяйства десятичные дроби и частный их вид, проценты, применяется намного чаще, чем обыкновенные ... целого на равные части. Русский термин «дробь», как и его аналоги в других языках, происходит от латинского «fractura», который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же ...
Для нахождения одного процента от числа необходимо число разделить на 100. Например, чтобы найти 1% от числа, нужно это число разделить на 100. Для нахождения нескольких процентов от числа, например, 15%, нужно сначала число разделить на 100, а затем полученный результат умножить на 15. Таким образом, мы решали задачи на проценты в пятом классе, опираясь на определение процента.
Однако, в шестом классе мы изучили умножение и деление обыкновенных дробей и узнали, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Теперь 15% от числа можно найти, просто умножив его на 0,15.
2. Исследование задач на проценты
В данном исследовании мы будем изучать различные типы задач на проценты, которые иллюстрируют использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека.
Мы будем использовать поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет. Также в ходе исследования мы будем выполнять практические вычисления при решении задач на проценты и анализировать полученные данные.
Объектом нашего исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты», а предметом исследования — решение практических задач на проценты и процентное содержание.
В данном исследовании рассматриваются основные типы задач на проценты и их применение в различных сферах жизнедеятельности человека.
1. Основные типы задач на проценты
Существует три основных типа задач на проценты, которые позволяют разделить задачи на нахождение процентов от числа, нахождение числа по значению его процентов и нахождение процентного выражения одного числа от другого.
Первый тип задачи — нахождение указанного процента от заданного числа. Для решения этого типа задачи необходимо умножить заданное число на указанный процент и разделить полученное произведение на 100.
Например, если вклад в банке имеет годовой прирост 6% и начальная сумма вклада равнялась 10 000 рублей, то чтобы найти на сколько возрастёт сумма вклада в конце года, необходимо выполнить следующие действия:
| 10 000 | × | 6 | : | 100 | = | 600 рублей |
Второй тип задачи — нахождение числа по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа. Для решения этого типа задачи необходимо разделить заданное число на его процентное выражение и умножить полученное частное на 100.
Например, если зарплата в январе составила 15 000 рублей, что составляет 7,5% от годовой зарплаты, то чтобы найти годовую зарплату, необходимо выполнить следующие действия:
| 15 000 | : | 7,5 | × | 100 | = | 200 000 рублей |
Третий тип задачи — нахождение процентного выражения одного числа от другого. Для решения этого типа задачи необходимо разделить первое число на второе и умножить полученное частное на 100.
Например, если завод произвел за год 40 000 автомобилей, а в следующем году — только 36 000 автомобилей, то чтобы найти, сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года, необходимо выполнить следующие действия:
| 36 000 | : | 40 000 | × | 100 | = | 90% |
2. Применение процентных расчетов в различных видах жизнедеятельности человека
2.1 Занимательные задачи на проценты
Задача 1. Сколько человек работало на заводе?
В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?
Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин.
Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%.
Общая численность работавших на заводе в это время 11:0,2 = 55 человек.
Задача 2. Сколько процентов составляет возраст сестры?
Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?
Примем возраст сестры за 100%.
Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40)
- 100% = 250%.
Задача 3. Как изменилась масса арбуза?
Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?
Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1%ю — из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза.
Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое.
Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
2.2 Процентное содержание, процентный раствор, концентрация. Смеси и сплавы
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием «процентное содержание», «концентрация», «%-й раствор». Поэтому предлагаем задачи на эти понятия.
Процентное содержание. Процентный раствор.
Задача 1. Сколько кг соли в 10кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.
Решение:
10. 0,15 = 1,5 (кг) соли.
Ответ: 1,5кг.
Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.
Задача 2. Сплав содержит 10кг олова и 15кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
Процентное содержание вещества в сплаве — это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.
Для решения задачи необходимо учитывать процентное содержание олова и цинка в сплаве. Дано, что сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка.
Для определения процентного содержания олова и цинка в сплаве, необходимо разделить массу каждого вещества на общую массу сплава и умножить на 100%.
1) Рассчитаем общую массу сплава:
10 + 15 = 25 (кг) — сплав.
2) Определим процентное содержание олова в сплаве:
10 / 25 * 100% = 40% — процентное содержание олова в сплаве.
3) Определим процентное содержание цинка в сплаве:
15 / 25 * 100% = 60% — процентное содержание цинка в сплаве.
- Ответ: 40%, 60%.
Таким образом, процентное содержание олова и цинка в сплаве составляет 40% и 60% соответственно.
Концентрация вещества в соединении по массе определяется как процентная доля этого вещества от общей массы соединения.
Например, если концентрация серебра в сплаве составляет 87% при массе 300 г, то масса чистого серебра в сплаве будет равна 261 г.
Для определения концентрации вещества в процентах необходимо умножить процентное содержание на массу соединения и разделить на 100%.
ПР2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?
Решение:
1) Рассчитаем общую массу сплава:
10 + 15 = 25 (кг) сплав.
2) Определим процентное содержание олова в сплаве:
10 / 25 * 100% = 40% процентное содержание олова в сплаве.
3) Определим процентное содержание цинка в сплаве:
15 / 25 * 100% = 60% процентное содержание цинка в сплаве.
- Ответ: 40%, 60%.
2.3 Концентрация, смеси и сплавы
Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.
Например, если концентрация серебра в сплаве составляет 87% при массе 300 г, то масса чистого серебра в сплаве будет равна 300 * 0,87 = 261 г.
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация — безразмерная величина. Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
к = р / 100%,
где к — концентрация вещества, р — процентное содержание вещества (в процентах).
Дополнительные задачи.
Задача 1.
Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?
Решение (с помощью уравнения):
В данном исследовании рассмотрены примеры задач на проценты, которые встречаются в вариантах ЕГЭ и связаны с различными ситуациями. Для решения этих задач необходимо применять знания о процентах и уметь составлять уравнения.
Примеры задач на проценты
Задача 1
Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить Х кг второго сплава. Тогда получим (20+Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4•20 = 8 (кг) серебра, а в (20+Х) кг нового сплава содержится 0, 32•(20+Х) кг серебра.
Составим уравнение: 8+0,2Х = 0,32(20+Х);
- Х=13 1/3.
Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.
Задача 2
При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?
Решение (с помощью системы уравнений):
Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания Х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05Х г) и Х г 40%-ного раствора (или 0,4Х г).
Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3•140 г, то получаем следующее уравнение
0,05Х + 0,4Х = 0,3•140.
Кроме того Х + Х = 140.
Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:
0,05Х + 40Х = 30•140,
Х + Х = 140.
Из этой системы находим
Х = 40, Х = 100.
Итак,
5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г,
а 40%-ного раствора — 100 г.
Ответ: 40 г, 100 г.
Примеры современных задач на проценты задания из вариантов ЕГЭ
Задача 1
Смешали 160 г раствора, содержащего 60% соли, и 240 г раствора, содержащего 40% соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?
Задача 2
В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость акций в январе, чем в марте?
Задача 3
Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?
Задача 4
Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?
Проценты в банке
Задача 1 «Сезонная распродажа»
На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 24%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 1593 рубля?
Решение:
Задачи по математике
Задача 1 «Распродажа»
В магазине проходит сезонная распродажа. Выбранные кроссовки стоят оригинально 1593 рублей, но установленная скидка составляет 24%. Какая стоимость кроссовок будет уже со скидкой, и сколько нужно будет заплатить?
Решение:
1. 100% — 24% = 76%, это будет составлять новую цену кроссовок.
2. 1593х0.76 = 1210,68 рублей — стоимость со скидкой.
Ответ: 1210,68 рублей.
Задача 2 «Банковский вклад»
Если вы разместите 100 000 рублей на банковский вклад, который начисляет 12% годовых, то какая сумма будет на вашем счете через 3 года?
Решение:
1. Через первый год на вашем счете будет: 100 000 + (100 000 × 0,12) = 112 000 рублей.
2. Через второй год: 112 000 + (112 000 × 0,12) = 125 440 рублей.
3. Через третий год: 125 440 + (125 440 × 0,12) = 140 492,8 рублей.
Ответ: 140 492,8 рублей.
Задача 3 «Договор о кредитовании»
Вы взяли кредит на покупку автомобиля на 3 месяца с условиями: в декабре оплатить 60% всей суммы, в январе — 75% остатка, а в феврале — оставшиеся 100%. Определите, сколько вы заплатите каждый месяц, и заполните договор.
Решение:
1. Сумма кредита: 100 000 рублей.
2. В декабре нужно будет заплатить 60 000 рублей (60% от суммы кредита).
3. В январе останется оплатить 25% от оставшейся суммы: 100 000 — 60 000 = 40 000 рублей × 0,75 = 30 000 рублей.
4. В феврале оставшаяся сумма: 100 000 — 60 000 — 30 000 = 10 000 рублей.
Договор о кредитовании:
| Мы, нижеподписавшиеся: | |
| Кредитор: | ___________________ |
| банковский счет: | ___________________ |
| Заемщик: | ___________________ |
| номер паспорта: | ___________________ |
| место работы: | ___________________ |
| ___________________ | в декабре оплачу 60 000 рублей |
| в январе оплачу 30 000 рублей | |
| в феврале оплачу 10 000 рублей |
Задача 4 «Нотариальная пошлина»
На оформление свидетельства о собственности на автомобиль необходимо заплатить нотариальную пошлину в размере 1,5% от стоимости автомобиля. Сколько рублей вам нужно доплатить за нотариальные услуги?
Решение:
1. Стоимость автомобиля: неизвестна.
2. Нотариальная пошлина: 1,5% от стоимости автомобиля.
3. Сумма нотариальной пошлины: 0,015х(стоимость автомобиля).
>>Примечание: для решения этой задачи необходимо знать стоимость автомобиля.
Задача 5 «Страхование от угона»
При покупке автомобиля у нас вы можете заключить договор о страховании от угона за 10% от стоимости автомобиля. Какая сумма будет выплачена вам в случае, если автомобиль будет угнан?
Решение:
1. Сумма страхового взноса: 10% от стоимости автомобиля.
2. Сумма выплаты при угоне: 100 000 х 0,1 = 10 000 рублей.
Ответ: $10 000 рублей будет выплачено в случае угона.
Практическая часть
В банк было положено 50 000 рублей, а через 1,5 года на счете уже было 110 000 рублей. Определите ставку процентов по вкладу, если проценты начисляются простыми точными.
Решение:
Исходные данные:
- Сумма вклада после 1,5 года: 110 000 рублей.
- Начальная сумма вклада: 50 000 рублей.
- Срок вклада: 1,5 года.
- Проценты начисляются простыми точными.
1. Разница между начальной и конечной суммой: 110 000 — 50 000 = 60 000 рублей.
2. Средняя годовая процентная ставка: 60 000 / (50 000 × 1,5) × 100% = 80%.
Ответ: Процентная ставка по вкладу составила 80% годовых.
П р и м е р. Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10 000 руб. На сколько возрастёт сумма вклада в конце года?
Р е ш е н и е : 10000
- 6 : 100 = 600 руб.
П р и м е р. Зарплата в январе равнялась 15 000 руб., что составило 7,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?
Р е ш е н и е : 15 000 : 7,5
- 100 = 200 000 руб.
Пример. Возраст брата составляет 40% от возраста сестры. Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?
Примем возраст сестры за 100%.
Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно: (100/40)
- 100% = 250%.
Пример. Пример. На сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь на 20%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 3000 рубля?
Решение:
1. 3000•0,2=600 (руб.) — экономия.
Ответ: 600 руб.
Свою практическую часть мы провели среди 9 классов нашей школы.
|
Задача |
9 А |
9 Б |
9 В |
9 Г |
|
|
№1 |
14 чел. |
14 чел. |
16 чел. |
6 чел. |
|
|
№2 |
15 чел. |
8 чел. |
10 чел. |
— |
|
|
№3 |
7 чел. |
— |
4 чел. |
— |
|
|
№4 |
13 чел. |
12 чел. |
15 чел. |
1 чел. |
|
Список используемой литературы
[Электронный ресурс]//URL: https://liarte.ru/referat/na-temu-protsentyi-v-nashey-jizni-klass/
Обзор учебных пособий по математике
В данной статье будет проведен обзор нескольких учебных пособий по математике, которые могут быть полезными для учеников и учителей.
1. «За страницами учебника математики» — Виленкин, Н. Л.
Эта книга, изданная в 1989 году, является хорошим дополнением к учебнику математики. Автор предлагает дополнительные задания и упражнения, которые помогут учащимся более глубоко понять материал. Книга содержит 73 страницы.
2. «Математика 6» — Виленкин, Н. Л., Жохов, В. И., Чесноков, А. С., Шварцбурд, С. И.
Это учебное пособие, изданное в 2006 году, предназначено для учеников 6 класса. Оно содержит подробные объяснения математических тем, а также множество задач и упражнений для закрепления знаний. Книга состоит из 288 страниц.
3. «ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике»
Это пособие содержит 3000 задач с ответами, которые покрывают материал группы В Единого государственного экзамена по математике. Авторы постарались собрать разнообразные задания разной сложности, чтобы помочь ученикам подготовиться к экзамену. Книга состоит из 511 страниц.
4. «Занимательная математика на уроках и внеклассных мероприятиях» — Ю.В. Щербакова, И.Ю. Гераськина
Данное пособие предлагает интересные математические задания и игры для проведения на уроках и во внеклассной работе. Оно предназначено для учащихся 5-8 классов. Книга содержит 240 страниц и может стать отличным помощником для преподавателей.
5. «Конкурсные задачи по математике» — Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В.
Это пособие, изданное в 1992 году, содержит задачи, которые могут быть использованы для подготовки к различным математическим конкурсам. Авторы предлагают разнообразные задания разной сложности, которые помогут развить логическое мышление учеников.
В заключение, каждое из представленных учебных пособий имеет свои особенности и может быть полезным для учеников и учителей при изучении математики. Выбор пособия зависит от индивидуальных потребностей и целей обучения.
