Введение
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
В математике для практических целей ограничиваются приблизительным значением = 1,618 или = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62% и 38%.
Очевидно, что при делении целого на две неравные части возможно бесконечное множество отношений между целым и одной из его частей, а также между самими частями целого. Но только в единственном случае эти отношения могут быть равными. Этот случай и представляет собой золотое сечение — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей, когда целое относится к большей части, как большая часть к меньшей.
Само положение точки золотого сечения на отрезке прямой линии выражается иррациональным числом, приблизительная величина которого 0,618 длины отрезка.
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.).
Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.
Золотое сечение в искусстве
... какое редко встречается в практике мирового искусства. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции. Знали эту пропорцию и в Древнем Египте. [10] Знание законов золотого сечения или непрерывного деления, как его называют ... окружность основания на две части - то же самое, то есть золотая пропорция. При построении храмов за основу брался человек как "мера всех вещей": в храм он должен ...
В Милане при дворе герцога Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли “Божественная пропорция” с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок — бога отца, а весь отрезок — бога духа святого).
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя “Устроена она так, — писал он, — что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности”.
Данная последовательность, включающая в себя отношения чисел в золотой пропорции была обнаружена средневековым математиком Леонардо Пизанским (более известным как Фибоначчи) Благодаря его знаменитой «задаче о кроликах»
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377
Вот как выглядит ряд чисел Фибоначчи.
Отношения между этими числами равны «золотой пропорции» т.е. примерно 1,618…
Начало
В начале XX века на одном из заседаний Московского научно-музыкального кружка, членами которого вместе с композиторами и пианистами Танеевым, Рахманиновым, Глиэром, Гольденвейзером были и крупные московские ученые, русский советский музыковед Э. К. Розенов (1861-1935) выступил с докладом «Закон золотого сечения в поэзии и музыке». Эту работу можно считать одним из первых математических исследований музыкальных произведений.
Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми вехами (эстетическими вехами) на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие целого. Этими вехами могут быть динамические и интонационные кульминационные пункты музыкального произведения.
В композициях многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлёта», высшей точки, причём такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, ассиметрична.
Изучая мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л. Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъём мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск — три, необычайно велико. Их можно без труда найти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.
Урок по развитию речи в 5-м классе. Музыкальное по произведению ...
... слушала ее, отдавая предпочтение музыкальной пьесе “Октябрь”. В выпускном классе я написала музыкальное сочинение по этому произведению. Я очень рада, ... музыке П.Чайковского.” Дима. “Осень – одно из красивейших времен года. Она разноцветная, но немного грустная. Осенью лес меняет ... вся красота золотой осени скоро окажется под покровом белого снега. Все это я услышала в музыке Чайковского”. 18.01.2008 ...
Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом её гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.
Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Мазеля, это входило в намерения авторов, например при сочинении рондообразных финалов.
Исследование Сабанеева
Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делятся на части, как правило, по закону золотого сечения.
По наблюдениям Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает своё музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы.
Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна(97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).
Исследование Розенова
Большое внимание исследованию законом музыкальной гармонии уделял известный русский искусствовед Розенов. Он утверждал, что в музыкальных произведениях и поэзии существует строгие пропорциональные отношения.
Розенов считал, что золотое сечение должно играть в музыке выдающуюся роль, как средство для приведения однородных явлений в соответствие, созданное самой природой: «Золотое деление могло бы: устанавливать в музыкальном произведении изящное, соразмерное отношение между целым и его частями; являться специальным местом подготовленного ожидания, совмещаясь с кульминационными пунктами и с разного рода выдающимися, с точки зрения автора, эффектами; направлять внимание слушателя на те мысли музыкального произведения, которым автор придаёт наиболее важное значение, которые желает поставить в связь и соответствие между собой».
Розенов выбирает для анализа ряд типичных произведений выдающихся композиторов.
Анализ Фантазии Баха
Хроматическая фантазия и фуга И. С. Баха объединены общей тональностью ре минор и контрастны по жанру и образу. Хроматическая фантазия с фугой ре минор — одно из величайших творений Баха, образец совершенства формы и содержания, «могущественнейшее клавесинное произведение».
Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79* 4 = 316 четвертных долей.
Итак, «целое» а=316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на арпеджированном доминантовом трезвучии с разрешением на 2-й четверти 49-го такта, на которой стоит знак ферматы (удлинение звука), и затем идет пауза.
Золотое сечение гармоническая пропорция
... золотого сечения в системе прямоугольника Исследуя геометричекие свойства этого прямоугольника, он показывает возможность его применения для анализа пропорций объектов классической архитектуры и искусства (рис. 3, 4). золотое сечение. 2. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - гармоническая пропорция. ... 44 Второе Золотое сечение вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44 : 56. Такая пропорция обнаружена в ...
Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48 * 4 + 3) четверти На вторую часть приходится 121 четверть
Вычисляя «теоретическую» длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим
Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции:
Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения приа=316, имеем
Каково же должно быть наше удивление, когда мы обнаружим, что на 124-й (31-й такт) четверти находится кульминация первой части и стоит знак ферматы *, а на 77-й (70 -й такт) четверти от начала второй части имеет место кульминация второй части.
Таким образом, кульминация обоих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей точностью приходятся на точки золотого сечения этих разделов. Также Розенов нашел и более мелкие деления Хроматической фантазии в золотой пропорции.
золотой сечение музыка
Рис. 2. Главные золотые сечения Хроматической фантазии И. С. Баха
Цифры обозначают число четвертей теоретического ряда золотого сечения (а=316).
Справа дано описание соответствующих характерных мест нотного текста фантазии.
Итак, Хроматическая фантазия, произведение свободного по форме жанра, буквально соткано из золотых пропорций. Пожалуй, эстетическое впечатление от математического анализа Хроматической фантазии имеет не меньшую силу, чем прослушивание бессмертного творения Баха. А взятые вместе — чувственное впечатление и рациональный анализ, безусловно, позволяют еще на один шаг приблизиться к сокровенным тайникам гения.
Фуга
Перейдем к анализу фуги. Фуга (от лат. fuga — бег) является наиболее совершенной формой многоголосной музыки (полифонии).
Фуга строится на многократных проведениях (повторениях) основной музыкальной темы в разных голосах. Проведения основной темы обычно перемежаются в фуге с промежуточными вставками, называемыми интермедиями. Таким образом, фуга в отличие от фантазии имеет четко определенный закон построения. Но тем не менее точность «математического» построения фуги ре минор просто поражает!
Фуга ре минор состоит из семи пар проведений и интермедий и двух самостоятельных проведений. Из семи пар «проведение-интермедия» пять пар строго подчиняются закону золотого сечения. Те же две пары «проведение — интермедия», для которых закон золотого деления не выполнен, являются своеобразными центрами симметрии относительно обрамляющих их разделов фуги и с каждым из них находятся в золотой пропорции! Именно для того, чтобы выделить эти два центра симметрии, Бах специально допускает в их строении отклонения от золотого деления и делает эти две пары «проведение-интермедия» симметричными.
Золотое сечение в природе и искусстве
... построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2: . Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе (рис.2), и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией. Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме ...
Рис. 3. Строение фуги ре минор И. С. Баха
Целые числа указывают число четвертей в фуге, дробные — теоретическое значение золотых сечений. Золотые пропорции в более крупных частях фуги отмечены фигурными скобками, центры симметрии — кружками. П — проведение, И — интермедия.
На рисунке приведена схема строения фуги ре минор. Здесь же указано число четвертей в каждом разделе фуги (целые числа) и даны теоретические значения членов золотой пропорции (дробные числа).
Как видим, все пять пар «проведение-интермедия» с изумительной точностью разделены в золотой пропорции (абсолютные ошибки колеблются в диапазоне от 0,05 до 0,15 четверти, относительные ошибки — от 0,02% до 0,7%).
Таким относительным погрешностям могут позавидовать многие из современных инженерных расчетов! В более крупных разделах абсолютные ошибки, естественно, возрастают. Но и при делении самого большого раздела (91 четверть) эти ошибки не превышают 1,25 четверти. Не следует, однако, забывать, что мы имеем дело с художественным произведением. Отметим, что в фуге ре минор существуют также и более мелкие, и более крупные соотношения золотого сечения.
Итак, простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение, и которую мы «видим», проводя его математический анализ.
