Смешанные произведения векторов и их свойства

Реферат

Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов называется число , равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов и . Смешанное произведение обозначается .

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

антикоммутативностью

ассоциативные

дистрибутивные

2. Векторное произведение векторов

два вектора

Само действие обозначается следующим образом: .

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР

3. Определение векторного произведения

Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

не коллинеарны

в строго определённом порядке

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание

площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

11 стр., 5416 слов

Реферат декартово произведение

... чисел. Можно определить множество нечетных чисел исходя из свойства оканчиваться на нечетную десятичную цифру 1, 3, 5, 7 или ... 1 ) ; то же множество соответствует свойству не делиться на 2 ( Р 2 ). Свойства P 1 и P 2 эквивалентны относительно ... тех элементов этого множества, которые делятся на 2 (ограничительное и характеризующее свойство); полученное множество есть множество четных чисел Р= ...

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию.

Направление векторного произведения имеет немного практического смысла для математических задач, но очень важно в физике.

4. Векторное произведение коллинеарных векторов

вырожденного

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай — векторное произведение вектора на самого себя:

тригонометрическая таблица

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение :

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения).

По соответствующей формуле:

Ответ :

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Для решения других задач нам понадобятся:

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле

Скалярное произведение векторов

выразим вектор через вектор

(1) Поставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

4 стр., 1666 слов

Скалярное произведение

... метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна. 4. Примеры при разложении векторов по которому: , итд, скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой: . В пространстве измеримых интегрируемых ... от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная. Данный реферат составлен на основе .

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉

Векторное произведение векторов в координатах

Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов

выражается формулой

в строгом порядке

свойствам определителя

Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, Что получается в результате раскрытия определителя?, В результате получается ВЕКТОР

Пример 6

Найти векторное произведение векторов и его длину.

Решение : Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), а во-вторых — его длину.

1) Найдём векторное произведение:

В результате получен вектор

или, ещё можно записать

скалярного произведения

Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя. коллинеарный вектор координата множитель

2) Вычислим длину векторного произведения. Используем формулу для вычисления длины вектора

Ответ :

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Даны векторы

Найти и вычислить .

Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны!

Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи:

Пример 8

Даны вершины треугольника

Найти его площадь.

Решение : Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые:

Ответ :

Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами — было не обязательно выбирать стороны . Решение также допустимо провести через векторы либо . Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное.

в задачах на нахождение площади фигуры

5. Смешанное произведение векторов, Смешанное произведение векторов — это произведение трёх векторов, Определение

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

определение:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны .

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ

смешанное произведение — это объем параллелепипеда

Примечание

4) Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах :

7 стр., 3010 слов

Смешанные боевые искусства

... глаза, захват и манипулирование малыми суставами (например, пальцами рук) fish-hooking Техника смешанного стиля На первых турнирах по абсолютным поединкам выступали бойцы - специалисты в каких-либо традиционных ... борцовским стажем. Бойцы, между тем, стали осваивать приемы из других единоборств: боксеры учились бороться, борцам ставили удар и т.д. Так сформировался смешанный стиль как таковой, ...

Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения.

В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда:

треугольной пирамидой

6. Смешанное произведение компланарных векторов

вырожденного

Смешанное произведение векторов в координатах

Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический:

Смешанное произведение векторов

выражается формулой

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса — это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

в строгом порядке

в строгом порядке

Значение определителя от этого не изменится

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то

Пример 11

Даны векторы

Вычислить:

  • а) смешанное произведение векторов;
  • б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
  • в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение:

а) По формуле смешанного произведения:

(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ :

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Пример 12

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины

Решение : Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий.

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды :

Ответ :

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра — хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Пример 13

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки .

7. Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны: векторы компланарны. Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47).

6 стр., 2937 слов

Работа редактора над композицией литературного произведения

... по замыслу произведение, тем сложнее его композиция. С изменением композиции меняется и содержание. Работа редактора над композицией произведения включает ... композиции. Какие требования предъявляются к композиции литературного произведения? Композиция должна соответствовать специфике произведения и издания, объему произведения, законам логики, определенному типу текста. Критериями оценки композиции ...

Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ).

В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).

8. Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен . Свойства смешанного произведения:

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда

Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле