Смешанные произведения векторов и их свойства

метки: Вектор, Смешанный, Произведение, Векторный, Свойство, Модуль, Пирамида, Ответ

Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение векторов a и b. Смешанное произведение обозначается [a, b].

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов a, b и произвольного числа c справедливы следующие свойства:

1. Антикоммутативность: [a, b] = -[b, a]
2. Ассоциативность: [a, [b, c]] = [b, [c, a]] = [c, [a, b]]
3. Дистрибутивность: [a, (b + c)] = [a, b] + [a, c]

Векторное произведение векторов

Для двух векторов a и b векторное произведение обозначается следующим образом: a × b.

И сразу возникает вопрос: если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, то в чём разница? Явная разница, прежде всего, в результате:

Результатом скалярного произведения векторов является число, а результатом векторного произведения векторов является вектор.

Определение векторного произведения

Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b, взятых в данном порядке, называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор c ортогонален векторам a и b и направлен так, что базис имеет правую ориентацию.

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

• Векторы a и b не коллинеарны.
• Векторное произведение берется в строго определённом порядке.

Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Длина синего вектора (а, значит, и малинового вектора) численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b. На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о длине вектора, а не о самом векторе. А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу: Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле: 4. Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам . 5. Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. Направление векторного произведения имеет немного практического смысла для математических задач, но очень важно в физике. 4. Векторное произведение коллинеарных векторов вырожденного. Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю. Частный случай — векторное произведение вектора на самого себя: Пример 1: а) Найти длину векторного произведения векторов , если б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если Решение: а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле: Ответ: б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах. Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения: Ответ: Пример 2 Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если Для решения других задач нам понадобятся: В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример: Пример 3 Найти , если Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру: (1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения. (2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной. (3) Дальнейшее понятно. Ответ: Пример 4 Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах Решение:

Скалярное произведение векторов Поставляем выражения векторов. Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов. Выносим все константы за пределы векторных произведений, при этом выполняя шаги 2 и 3 одновременно. Используем свойство антикоммутативности векторного произведения. Приведение подобных слагаемых. В результате вектор оказался выражен через вектор, что и требовалось достичь. Векторное произведение векторов в координатах Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов выражается формулой в строгом порядке свойствам определителя. Данный определитель всегда раскрываем по первой строке. Что получается в результате раскрытия определителя? — В результате получается вектор.

В данном исследовании мы будем изучать смешанное произведение векторов и его свойства. Смешанное произведение является произведением трех векторов и имеет определенные свойства и формулы для вычисления.

1. Определение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов — это произведение трех векторов, которое обладает следующими свойствами:

1. Исходные векторы не компланарны, то есть они не лежат в одной плоскости.
2. Векторы берутся в определенном порядке, поскольку перестановка векторов в произведении влияет на результат.
3. Смешанное произведение является числом.

2. Формула вычисления смешанного произведения векторов

Формула вычисления смешанного произведения векторов имеет вид:

(a x b) * c = a * (b x c) = b * (c x a) = c * (a x b)

где a, b и c — исходные векторы.

3. Смешанное произведение векторов в координатах

Смешанное произведение векторов также может быть вычислено алгебраически с использованием координат. Для этого используется следующая формула:

(a x b) * c = (a_x * b_y * c_z) + (a_y * b_z * c_x) + (a_z * b_x * c_y) — (a_z * b_y * c_x) — (a_x * b_z * c_y) — (a_y * b_x * c_z)

4. Свойства смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. Смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны.
2. Абсолютное значение смешанного произведения равно объему параллелепипеда, построенного на исходных векторах.
3. Смешанное произведение может быть отрицательным.

В данном исследовании мы рассмотрели основные свойства и формулы для вычисления смешанного произведения векторов. Это важный инструмент в аналитической геометрии и находит применение в различных областях науки и техники.

Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса — это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно.

в строгом порядке

в строгом порядке

Значение определителя от этого не изменится

Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то

Пример 11

Даны векторы

Вычислить:

• а) смешанное произведение векторов;
• б) объём параллелепипеда, построенного на векторах ;
• в) объём тетраэдра, построенного на векторах .

Решение:

а) По формуле смешанного произведения:

(Определитель раскрыт по первому столбцу)

б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах , равен модулю смешанного произведения данных векторов:

в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах:

Ответ:

В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень.

На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды:

Пример 12

Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины

Решение:

Сначала найдём векторы:

Вычислим смешанное произведение:

(Определитель раскрыт по первой строке)

Вычислим объём треугольной пирамиды:

Ответ:

Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника.

Объём тетраэдра — хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же:

Пример 13

Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки .

7. Геометрические свойства смешанного произведения

1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение положительно, если тройка векторов — правая, и отрицательно, если тройка — левая, и наоборот.

2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны: векторы компланарны. Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: , где — угол между векторами и . Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Поэтому . Алгебраическое значение длины проекции вектора на ось, задаваемую вектором , равно по модулю высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1.47).

Поэтому модуль смешанного произведения равен объему этого параллелепипеда:

Знак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла . Если тройка правая, то и смешанное произведение положительно. Если же тройка левая, то и смешанное произведение отрицательно. Докажем второе свойство. Равенство возможно в трех случаях: или (т.е. ),или (т.е. вектор принадлежит плоскости векторов и ).

В каждом случае векторы компланарны (см. разд. 1.1).

8. Алгебраические свойства смешанного произведения

1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , равен . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение.

а затем его модуль . По первому геометрическому свойству смешанного произведения искомый объем равен . Свойства смешанного произведения:

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда

Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле