Скалярное произведение

метки: Скалярный, Вектор, Произведение, Пространство, Определение, Использоваться, Длина, Понятие

Введение, Скаля́рное произведе́ние

Обычно используется одно из следующих обозначений:

,

,

,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть

для всех .

индефинитным

1. Определение

Скалярным произведением

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство (линейность скалярного произведения по первому аргументу);
2. для любых и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение (эрмитова симметричность);
3. для любого имеем , причем только при (положительная определенность скалярного произведения).

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

скалярного произведения

2. Элементарное определение

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии).

В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

Современная аксиоматика обычно строится начиная со скалярного произведения, и тогда длина вектора и угол определяются уже через скалярное произведение (см. ниже).

Смешанные произведения векторов и их свойства

... шестой объёма параллелепипеда: треугольной пирамидой 6. Смешанное произведение компланарных векторов вырожденного Смешанное произведение векторов в координатах Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический: Смешанное произведение векторов выражается формулой Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические ...

3. Связанные определения

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия:

• Длина вектора, под которой понимается уже упомянутая выше его евклидова норма: (термин ‘длина’ обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

• Углом между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

  

  В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

  

• Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

• Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
  • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
• Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой . Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно).

  Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского).

  Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

4. Примеры

при разложении векторов по которому:

,

итд,

скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой:

.

• В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

• В аналогичном случае для комплексных функций, если требуется эрмитовость (и положительная определённость) скалярного произведения, надо добавить комплексное сопряжение к f или g под интегралом.

• При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора g _ij :

при этом сама метрика (говоря точнее, ее представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов :

11 стр., 5441 слов

Астрономия в художественных произведениях

... описать различные явления одним из способов является метод, предложенный в моем работе, а именно Изучение астрономии в стихах. Так появилась эта работа. В разделах данной работы находятся литературные курьезы, ... а ученики учатся анализировать прочитанное; изучение астрономии с помощью стихотворений и художественных произведений не только открывает нам красоту Вселенной, но и помогает увидеть красоту ...

• • (метрика в ортонормированных базисах тривиальна, то есть представлена единичной матрицей g _ij = δ_ij )

• Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

5. Неравенство Коши — Буняковского

Для любых элементов и линейного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство [1]

6. Применение

Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

Широко известны следующие применения:

• Любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью.

• Например, теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения:

• Угол между векторами:

• Оценка угла между векторами:

в формуле знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны).

10 стр., 4764 слов

Говорящие фамилии в произведениях русских писателей XIX века

... личности. II. Говорящие фамилии в произведениях русских писателей 2.1 Говорящие фамилии в творчестве Д.И. Фонвизина За ... В. Ломоносов, совместивший в своем подходе к литературе позиции теоретика и практика, видел в именах ... моральные темы». Эта фраза парадоксальна. Например, в ней есть позиции, противоречащие друг ... сложиться только в тот момент, когда лингвистика сместила общий вектор своих интересов ...

Поэтому скалярное произведение > 0, если угол между векторами острый, и < 0, если угол между векторами тупой.

,

итд.

(При этом технические возможности вычислений со скалярными произведениями, как и вообще с векторами, значительно возрастают, если использовать — при желании или необходимости — и компонентное представление векторов вкупе с компонентным выражением скалярного произведения).

• Аналогичные вычисления в геометризованных теориях в физике (таких, как СТО или ОТО).

• Разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике).

• В том числе, в бесконечномерном случае: ряды Фурье, преобразования Фурье.
• В векторном анализе — вычисление контурных интегралов, потоков, применение с оператором набла.

7. Обобщения

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам. Аналогичное обобщение в принципе нетрудно сделать и в бесконечномерном случае (Для бесконечномерных пространств функций — см. примеры (выше)).

Примечания

1. Ортонормированность базиса определяется условием

   

   заключающемся в равенстве нулю скалярных произведений разных базисных векторов, например, первого и второго, первого и третьего, итд (ортогональность), и равенстве единице — скалярного произведения каждого базисного вектора с самим собой (нормированность).

   Упоминаемые в основном тексте формулы получаются прямым перемножением векторов, разложенных по такому базису, учитывая свойства скалярного произведения, особенно его билинейность, позволяющую раскрывать скобки итп как при вычислениях с обычными числами.

2. В абстрактной формулировке названное условие — это всего лишь определение ортогональности. Аналогично, две формулы выше в абстрактной формулировке также являются просто определениями соответствующих понятий через скалярное произведение, но они все могут с успехом быть использованы в конкретных вычислениях, например, в элементарной геометрии, независимо от того, какая система определений используется, современная абстрактная или традиционная элементарная.

Данный реферат составлен на основе .

Путешествие по России (По произведению Н. В. Гоголя «Мертвые ...

... с помещиками живут другие люди — крепостные крестьяне. Именно в них проявляются положительные черты, свойственные русскому народу. Среди крепостных также встречаются разные люди. Например, Петрушка, который прислуживает Чичикову, ... народа не находят выхода в крепостнической России. Таким образом, Н. В. Гоголь ... собою». Насколько обленился Манилов, можно судить по его слугам. Они ничем не увлечены, ...