Логарифмы
десятичный натуральный логарифм тождество
Логарифмом
Обозначение логарифма:
Эта запись равнозначна следующей: bx = N .
П р и м е р ы : log3 81 = 4 , так как 34 = 81 ;
- log1/3 27 = — 3 , так как ( 1/3 ) -3 = 33 = 27 .
Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:
Основные свойства логарифмов.
1) log b = 1 , так как b 1 = b .
2) log 1 = 0 , так как b 0 = 1 .
3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
log ( ab ) = log a + log b .
4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:
log ( a / b ) = log a — log b .
5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:
log ( b k ) = k
- log b .
Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:
6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:
Два последних свойства можно объединить в одно:
7) Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):
В частном случае при N = a имеем:
Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, … pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы.
Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, … pавны соответственно -1, -2, -3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ).
Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n при неограниченном возрастании n ( см. так называемый второй замечательный предел в разделе «Пределы» ).
Логарифмы в музыке
... получаем мантиссу — она равна 8671, поэтому log736.4 = 2.8671. Натуральные логарифмы Таблицы и свойства природных логарифмов схожи с таблицами и свойствами обычных логарифмов. Основное различие между ними ... можно найти в четырехзначных таблицах с десятичными логарифмами. Логарифмы, основанные на 10 (или десятичных логарифмах), так часто используются в вычислениях, что называют обычные логарифмы и ...
Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию
ЛОГАРИФМ, число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление — вычитанием, возведение в степень — умножением и извлечение корней — делением.
Общее описание. Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. Например, логарифм числа 100 по основанию 10 равен 2. Иначе говоря, 10 нужно возвести в квадрат, чтобы получить число 100 (102 = 100).
Если n — заданное число, b — основание и l — логарифм, то bl = n. Число n также называется антилогарифмом по основанию b числа l. Например, антилогарифм 2 по основанию 10 равен 100. Сказанное можно записать в виде соотношений logb n = l и antilogb l = n.
Основные свойства логарифмов:
Любое положительное число, кроме единицы, может служить основанием логарифмов, но, к сожалению, оказывается, что если b и n — рациональные числа, то в редких случаях найдется такое рациональное число l, что bl = n. Однако можно определить иррациональное число l, например, такое, что 10l = 2; это иррациональное число l можно с любой требуемой точностью приблизить рациональными числами. Оказывается, что в приведенном примере l примерно равно 0,3010, и это приближенное значение логарифма по основанию 10 числа 2 можно найти в четырехзначных таблицах десятичных логарифмов. Логарифмы по основанию 10 (или десятичные логарифмы) столь часто используются при вычислениях, что их называют обычными логарифмами и записывают в виде log2 = 0,3010 или lg2 = 0,3010, опуская явное указание основания логарифма. Логарифмы по основанию e, трансцендентному числу, приближенно равному 2,71828, называются натуральными логарифмами. Они встречаются преимущественно в работах по математическому анализу и его приложениям к различным наукам. Натуральные логарифмы также записывают, не указывая явно основание, но используя специальное обозначение ln: например, ln2 = 0,6931, т.к. e0,6931 = 2. См. также ЧИСЛО e.
Пользование таблицами обычных логарифмов.
Обычный логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить данное число. Так как 100 = 1, 101 = 10 и 102 = 100, мы сразу получаем, что log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 и т.д. для возрастающих целых степеней 10. Аналогично, 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 и, следовательно, log0,1 = -1, log0,01 = -2 и т.д. для всех целых отрицательных степеней 10. Обычные логарифмы остальных чисел заключены между логарифмами ближайших к ним целых степеней числа 10; log2 должен быть заключен между 0 и 1, log20 — между 1 и 2, а log0,2 — между -1 и 0. Таким образом, логарифм состоит из двух частей, целого числа и десятичной дроби, заключенной между 0 и 1. Целочисленная часть называется характеристикой логарифма и определяется по самому числу, дробная часть называется мантиссой и может быть найдена из таблиц. Кроме того, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 равен 0,3010, поэтому
Число контрольных работ в год по классам
... по данному предмету; сочинения – через урок в 5-8 классах, через 10 дней – в 9-11-х классах. ЕДИНЫЙ ОРФОГРАФИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ВЕДЕНИЯ ШКОЛЬНОЙ ДОКУМЕНТАЦИИ Порядок ведения и оформления тетрадей по русскому языку и литературе Записи в ...
log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогично, log0,2 = log(2ё10) = log2 — log10 = (log2) — 1 = 0,3010 — 1. Выполнив вычитание, мы получим log0,2 = — 0,6990.
Однако удобнее представить log0,2 в виде 0,3010 — 1 или как 9,3010 — 10; можно сформулировать и общее правило: все числа, получающиеся из данного числа умножением на степень числа 10, имеют одинаковые мантиссы, равные мантиссе заданного числа. В большинстве таблиц приведены мантиссы чисел, лежащих в интервале от 1 до 10, поскольку мантиссы всех остальных чисел могут быть получены из приведенных в таблице.
В большинстве таблиц логарифмы даются с четырьмя или пятью десятичными знаками, хотя существуют семизначные таблицы и таблицы с еще бульшим числом знаков. Научиться пользоваться такими таблицами легче всего на примерах. Чтобы найти log3,59, прежде всего заметим, что число 3,59 заключено между 100 и 101, поэтому его характеристика равна 0. Находим в таблице число 35 (слева) и движемся по строке до столбца, у которого сверху стоит число 9; на пересечении этого столбца и строки 35 стоит число 5551, поэтому log3,59 = 0,5551. Чтобы найти мантиссу числа с четырьмя значащими цифрами, необходимо прибегнуть к интерполяции. В некоторых таблицах интерполирование облегчается пропорциональными частями, приведенными в последних девяти столбцах в правой части каждой страницы таблиц. Найдем теперь log736,4; число 736,4 лежит между 102 и 103, поэтому характеристика его логарифма равна 2. В таблице находим строку, слева от которой стоит 73 и столбец 6. На пересечении этой строки и этого столбца стоит число 8669. Среди линейных частей находим столбец 4. На пересечении строки 73 и столбца 4 стоит число 2. Прибавив 2 к 8669, получим мантиссу — она равна 8671. Таким образом, log736,4 = 2,8671.
Натуральные логарифмы.
Таблицы и свойства натуральных логарифмов аналогичны таблицам и свойствам обычных логарифмов. Основное различие между теми и другими состоит в том, что целочисленная часть натурального логарифма не имеет существенного значения при определении положения десятичной запятой, и поэтому различие между мантиссой и характеристикой не играет особой роли. Натуральные логарифмы чисел 5,432; 54,32 и 543,2 равны, соответственно, 1,6923; 3,9949 и 6,2975. Взаимосвязь между этими логарифмами станет очевидной, если рассмотреть разности между ними: log543,2 — log54,32 = 6,2975 — 3,9949 = 2,3026; последнее число есть не что иное, как натуральный логарифм числа 10 (пишется так: ln10); log543,2 — log5,432 = 4,6052; последнее число равно 2ln10. Но 543,2 = 10ґ54,32 = 102ґ5,432. Таким образом, по натуральному логарифму данного числа a можно найти натуральные логарифмы чисел, равные произведениям числа a на любые степени n числа 10, если к lna прибавлять ln10, умноженный на n, т.е. ln(aґ10n) = lna + nln10 = lna + 2,3026n. Например, ln0,005432 = ln(5,432ґ10-3) = ln5,432 — 3ln10 = 1,6923 — (3ґ2,3026) = — 5,2155. Поэтому таблицы натуральных логарифмов, как и таблицы обычных логарифмов, обычно содержат только логарифмы чисел от 1 до 10. В системе натуральных логарифмов можно говорить об антилогарифмах, но чаще говорят об экспоненциальной функции или об экспоненте. Если x = lny, то y = ex, и y называется экспонентой от x (для удобства типографского набора часто пишут y = exp x).
Применение электронных таблиц в инженерных расчетах
... данных, используемых в электронных таблицах В работе с электронными таблицами можно выделить три основных типа данных: числа; текст; формулы. Числа. Для представления чисел могут использоваться несколько различных форматов (числовой, ... стало возможно реализовать. Математическое моделирование. Использование математических формул в электронных таблицах позволяет представить взаимосвязь между различными ...
Экспонента играет роль антилогарифма числа x.
С помощью таблиц десятичных и натуральных логарифмов можно составить таблицы логарифмов по любому основанию, отличному от 10 и e. Если logb a = x, то bx = a, и, следовательно, logc bx = logc a или xlogc b = logc a, или x = logc a/logc b = logb a. Следовательно, с помощью этой формулы обращения из таблицы логарифмов по основанию c можно построить таблицы логарифмов по любому другому основанию b. Множитель 1/logc b называется модулем перехода от основания c к основанию b. Ничто не мешает, например, пользуясь формулой обращения, или перехода от одной системы логарифмов к другой, найти натуральные логарифмы по таблице обычных логарифмов или совершить обратный переход. Например, log105,432 = loge 5,432/loge 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на которое нужно умножить натуральный логарифм данного числа, чтобы получить обычный логарифм, является модулем перехода к системе обычных логарифмов.
